傅里叶系列(二)傅里叶变换的推导

转载 2020-06-07 16:24  阅读 51 次 评论 0 条

关于傅里叶级数的推导详见:

ElPsyConGree:傅里叶级数的数学推导

我们先把傅里叶级数转换为指数形式:

三角函数形式:

\(\begin{equation} \begin{split} f(t) &=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{[a_{n}cos(n\omega t)+b_{n}sin(n\omega t)]} \end{split} \end{equation}\tag{1}\)

\( \begin{align} &a_{0}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt \tag{2} \\ &a_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)cos(n\omega t)dt \tag{3} \\ &b_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)sin(n\omega t)dt \tag{4}\\ \end{align}\)

代入欧拉公式:

\(e^{i\theta}=cos(\theta)+isin(\theta)\\\)

可以变形为:

\(cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\\\)

\(sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}=-i\cdot \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2}\\\)

将\(sin(\theta)\)、\(cos(\theta)\)代入傅里叶级数求得:

\(\begin{align} f(t)&=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{[a_{n}\frac{e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}}{2}-ib_{n}\frac{e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}}{2}]} \\ &=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{[\frac{a_{n}-ib_{n}}{2}e^{in\omega t}+\frac{a_{n}+ib_{n}}{2}e^{-in\omega t}]} \tag{5}\\\end{align}\\\)

将(2)、(3)、(4)代入得:

\(\begin{align} \frac{a_{n}-ib_{n}}{2}&=\frac{1}{T}[\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)cos(n\omega t)dt-i\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)sin(n\omega t)dt]\\ &=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)[cos(n\omega t)-isin(n\omega t)]dt\\ &=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)[\frac{e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}}{2}-i\cdot (-i)\cdot \frac{e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}}{2}]dt\\ &=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-inwt}dt\\ \end{align} \)

同理可得:\(\frac{a_{n}+ib_{n}}{2}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{inwt}dt\)

将两式代入到(5)中解得:

\(\begin{align} f(t)&=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt+\frac{1}{T}\sum_{n=1}^{\infty}{[\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-inwt}dt\cdot e^{in\omega t}+\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{inwt}dt\cdot e^{-in\omega t}]}\\ &=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt+\frac{1}{T}\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-inwt}dt\cdot e^{in\omega t}}+ \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{-1}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-inwt}dt\cdot e^{in\omega t}\\ &=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-inwt}dt\cdot e^{in\omega t\tag{6}}\\ \end{align} \\\)

(注:当\(n=0\)时:\(\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-inwt}dt \cdot e^{inwt}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt\))

公式(6)为傅里叶级数的指数形式

然后我们来仔细研究下公式(6)

\( f(t)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-in \omega t}dt\cdot e^{in\omega t}\tag{6}\)

聪明的你,一定可以看出来这个累加式子非常像积分的黎曼和。

积分表达式的黎曼和表达式:

\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{h \rightarrow 0}\sum_{n=0}^{(b-a)/h}{f(a+ n\cdot h)\cdot h} \\\)

其中\(h\)为步长.同理我们有:

\(\omega=\frac{2\pi}{N} (N\to + \infty \space N\in Z)\\\)

设\(\omega_{x}=\frac{2\pi}{N}\cdot n\),得到:

\(\begin{align} f(t)&=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-in\omega t}dt\cdot e^{in\omega t}\\ &=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{[ F(\omega_{x})\cdot e^{i\omega_{x} t}]}\\ &=\frac{N}{2\pi\cdot T} \cdot \sum_{n=-\infty}^{+\infty}{[ F(\omega_{x})\cdot e^{i\omega_{x} t}\cdot\frac{2\pi}{N}]}\\&= \frac{N}{2\pi\cdot T} \int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega_{x})\cdot e^{i\omega_{x} t}d\omega_{x} \\ \end{align} \\\)

我们令\(T \to N\)即可得到一个标准化的傅里叶变化公式:

\(f(t)= \frac{1}{2\pi } \int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega_{x})\cdot e^{i\omega_{x} t}d\omega_{x} \tag{7}\)

其中\(F(\omega_{x})= \int_{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)e^{-i\omega_{x}t }dt \tag{8}\)

总结下思路:

1、先将傅里叶级数从三角函数形式化为欧拉公式形式

2、通过欧拉公式我们发现可以把累加形式化为积分形式

3、将其中的积分因子提取出来,方便之后的计算

本文地址:http://51blog.com/?p=10570
关注我们:请关注一下我们的微信公众号:扫描二维码广东高校数据家园_51博客的公众号,公众号:数博联盟
温馨提示:文章内容系作者个人观点,不代表广东高校数据家园_51博客对观点赞同或支持。
版权声明:本文为转载文章,来源于 游戏编程随笔 ,版权归原作者所有,欢迎分享本文,转载请保留出处!

发表评论


表情